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Funciones Económicas

INTRODUCCIÓN:

En esta sección trataremos de introducir al alumno en conceptos elementales de economía, para luego a partir de la definición de función, poder desarrollar los problemas de aplicación matemática a las ciencias económicas.

  • Qué entendemos por Economía?

En una sociedad, los individuos tomados tanto en forma aislada como en su conjunto, tienen necesidades materiales (vivienda, alimentación, etc.) y no materiales (salud, recreación, etc.).Pero, cómo las satisfacen si cuentan con recursos que son escasos o limitados?. El camino es el de realizar actividades productivas.

En ese marco vamos a definir a la Economía como la ciencia que se encarga de distribuir en forma conveniente los recursos escasos de una sociedad, con el objeto de producir bienes que permitan satisfacer directa o indirectamente los deseos o necesidades de los individuos.

Los economistas son los encargados de encontrar las respuestas al problema que surge entre deseos y necesidades ilimitadas, frente a recursos que son escasos.

Para intentar entender como funcionan estas relaciones utilizaremos modelos matemáticos.

  • Modelación matemática Los antiguos griegos fueron los primeros en tratar de comprender la naturaleza a partir de un análisis lógico. Aristóteles desarrolló la teoría que el mundo no era plano sino esférico, la que fue demostrada por Eratóstenes De Cirene: Científico griego (276 - 194 a.C.). 
Tolomeo lo convoca para dirigir la Biblioteca de AlejandríA. 
Fue el primero en medir el meridiano terrestre con extraordinaria exactitud, 
así como la distancia de la Tierra a la Luna y el Sol, y la inclinación de la eclíptica respecto al ecuador celeste, 
entre otras importantes mediciones. sin moverse un solo paso de Alejandría. Pero, cómo lo hizo?. A través de suposiciones y simplificaciones creó el contexto matemático en el cual pudieron aplicarse los principios de la geometría que le permitieron encontrar una medida equivalente a la circunferencia de la tierra.

Actualmente científicos y técnicos buscan representar la realidad en términos matemáticos, y es a este proceso al que denominaremos "modelación matemática".

  • Aplicación a las Ciencias Económicas:

En relación a esta sección que estamos desarrollando, el objetivo no es el de formar economistas, sino que pretendemos sirva de ayuda para enseñar matemática desde una perspectiva de las ciencias económicas.

En Economía se plantean los problemas de tal modo que puedan responderse matemáticamente, y que dichas respuestas puedan generalizarse.

Entendemos por modelo a la simplificación y abstracción de la realidad, donde se identifican Una variable económica es algo que influye en la toma de decisiones relacionadas con los
    problemas económicos fundamentales, o algo que describe los resultados de esas
    decisiones. Por ejemplo, producción de un bien, cantidades empleadas de un determinado
    insumo en una cadena de producción, precio de los bienes o servicios, etc. En este curso
    utilizaremos principalmente las variables de precio y cantidad. y parámetros, a partir de los cuales se postulan relaciones entre ellas en forma de leyes o teorías.

Cuánto más sencillo sea el modelo económico propuesto, más fácil será usarlo para dar respuestas de tipo general. La validez del mismo dependerá de la validez de las consecuencias que de él se deducen

Como no es posible controlar todas las variables, es frecuente introducir la condición de Haga click aquí para ver la definición "ceteris paribus" , que nos permite suponer que todas las variables se mantienen constantes temporariamente, excepto la que estamos estudiando, y quiere decir: "Si todo lo demás no cambia".

Por ejemplo, cuando analizamos como varía la demanda de la carne de vaca al variar su precio, estamos dejando de considerar otros factores que influyen en la toma de decisión del consumidor como son el precio de productos substitutos (carne de pollo o de pescado); el gusto o preferencia de los consumidores por otras carnes; y la renta del consumidor en el mismo período de tiempo. Ningún valor describe toda la información requerida, ya que la cantidad demandada de carne de vaca dependerá entre otras cosas de su precio.

  • Expresión analítica de un modelo económico

En este curso nos referiremos a los modelos económicos , que serán las herramientas para entender la realidad en forma simplificada, esquemática y aproximada.

Su expresión analítica se realiza a través de una o varias funciones que nos indican las relaciones existentes entre las variables.

En el desarrollo de este curso trataremos modelos económicos simples, formados en su mayoría por una sola función que relaciona dos variables.

Así hablamos de la "Función Oferta" , donde las cantidades ofrecidas de un bien dependerán del precio del mismo, o de la "Función Demanda" , donde las cantidades demandadas de un bien también dependerán de su precio.

 Analicemos la Demanda de un determinado bien A:

Precio de A (p)

Cantidad comprada de A (d) 

20.000 1
10.000 3

Función Lineal de Demanda del bien A

q: Cantidad demandada del bien A

p: Precio del bien A

Cantidad demandada = f(precio del mercado)

 

La gráfica de la curva de demanda nos muestra las cantidades del bien A que serán demandadas durante un período de tiempo para cada posible precio. En el análisis no incluimos ni precio de los bienes substitutos de A, ni gusto de los consumidores, ni su renta.

Cada punto de la curva de coordenadas (qA,pA), nos muestra como  se relacionan las variables precio y cantidad bajo la condición de Haga click aquí para ver la definición "ceteris paribus" .

  • Funciones Económicas

Para expresar un modelo económico utilizaremos el concepto matemático de función, entendiendo por tal a la relación de dependencia entre variables económicas. 

En Economía las funciones pueden adoptar tanto formas teóricas muy complejas, como muy simples. En este curso trabajaremos con funciones económicas de una sola variable y principalmente de tipo lineal y cuadrática.

Respecto del Dominio y del conjunto de las imágenes, haremos algunas consideraciones al definirlos, ya que los valores que asumen las variables deben tener sentido económico, y como tal estarán restringidos a números reales positivos. Si nos referimos a precios o cantidades no podremos hablar de valores negativos, por ejemplo producir (-5) autos, o vender un bien a (-100) pesos carece de sentido.

Las funciones económicas se grafican en el primer cuadrante de un sistema de coordenadas cartesianas

FUNCION ECONOMICA: f : R0+ --> R0+  es una función contínua y biyectiva, con dominio y codominio en los número reales no negativos, que representa a un modelo económico.

  • Funciones lineales
  • La función lineal es la más simple dentro de las formas que puede adoptar una relación entre variables económicas, pero desempeñan un importante papel en la formulación de los problemas económicos.

    Una función lineal tiene la forma general

    Donde a y b son números reales, el coeficiente a es la pendiente de la recta que representa a la función y siempre es distinta de cero, el término independiente b es la ordenada al origen, que gráficamente representa la intersección de la recta con el eje de las ordenadas en el punto de coordenadas (0,b).

    La variable independiente es x, a la cual le asignamos valores para obtener y.

    Estas funciones se caracterizan porque un cambio unitario en la variable independiente (x), provoca un cambio proporcional en la variable dependiente (y). La tasa de cambio está representada por la constante a.

    Analicemos la relación funcional que existe entre la venta domiciliaria de teléfonos celulares, y el sueldo del vendedor: (funcion ingreso)

    donde "y" es el sueldo del vendedor, y "x" es la cantidad de teléfonos vendidos.

    Estamos frente a una función lineal, cuya representación gráfica es:

     

    Podemos observar:

    1.      Es función creciente

    2.      Al aumentar el número de teléfonos vendidos, aumenta el sueldo del vendedor. 

    3.      D (f) = R0+

    I (f) = 

En otras ramas de las ciencias también se utilizan las funciones lineales, Por ejemplo:

Distancia recorrida por un móvil sobre un camino recto a velocidad constante, en función del tiempo (Movimiento rectilíneo uniforme)

Ley de enfriamiento de Newton. La velocidad de enfriamiento de un cuerpo está en función de la temperatura del cuerpo, por encima de la temperatura ambiente.

Longitud de la circunferencia en función del radio.

Unidad de riego en función de la superficie.

Ejemplo

Veamos un ejemplo de función lineal aplicado al Comercio Exterior.

Según la Subsecretaría de Comercio Exterior de una región A, se exportaron (en miles de dólares), durante el período comprendido entre 1993 y 1997, los valores que se indican en la siguiente tabla:

Año (x)

1993

1994

1995

1996

1997

Exportaciones (y)

1640

1763

1875

1987

2006

 

Gráfico 1:

Graficamos los puntos en un sistema de coordenadas cartesianas:

 

 

 

 

 

 

 

 

Gráfico 2:

En el siguiente gráfico mostramos la línea recta que se ajusta mejor (en cierto sentido) a la nube de puntos que aparecen en el gráfico anterior. La línea recta se denomina línea de regresión, y está dada por :

Coeficiente de Correlación : 0.976168

Y = 94.4x -186474.99924

Ejemplo 2

La Comisión Ballenera Internacional formuló en 1960 la relación lineal que existe entre la longitud L (en pies) y el peso esperado W (en toneladas británicas) de las ballenas azules adultas.

W = 3,15 L - 192

Si representamos gráficamente en un sistema de coordenadas cartesianas, obtenemos:

Representación gráfica

La representación gráfica de las funciones permite reconocer rápidamente la relación que existe entre las variables, detectar situaciones claves, formular distintos modelos y compararlos.

Se pueden realizar dos tipos de gráficos según la información que se vuelque en ellos:

1. Representar gráficamente la relación que liga a las variables en forma empírica.

Retomando el ejemplo de las exportaciones (ejemplo 1), volcamos los datos de la tabla en un sistema de coordenadas cartesianas.

Gráfico 1: Cada punto del gráfico representa un par ordenado (x, y), cuya primera componente corresponde al año en que se realizaron las exportaciones, y la segunda a los miles de dólares exportados en ese año.

Gráfico 2: Luego se busca y se grafica la línea recta que se ajusta mejor (en cierto sentido) a la nube de puntos que aparecen en el gráfico. La línea recta se denomina línea de regresión, y está dada por :

Y = 94.4x -186474.99924

Coeficiente de Correlación : 0.976168

2. Se grafica la relación teórica dada por la función 

Para un determinado valor de x, se obtiene el valor de y.

Bastará graficar solo dos puntos, unirlos por medio de una curva continua, y obtenemos la recta que representa a la función lineal sobre la que se trabaja.

En el ejemplo 2, que corresponde al peso y longitud de las ballenas, y tomamos el punto P (100 ; 113) y el punto Q (150 ; 270,5), los unimos y obtenemos la gráfica de la relación.

3. Otra forma de obtener la misma gráfica, es a través de la pendiente y la ordenada al origen .

Para la función lineal

Y =

La ordenada al origen (b) es 6, y gráficamente está representado por el punto en que la recta corta al eje de las ordenadas, punto de coordenadas ( 0,6).

La pendiente de la recta (a) está dada por el valor 2.

En cuanto a la representación gráfica, la inclinación que adopte la recta dependerá del valor de la pendiente, y de la escala a la que le representen las magnitudes utilizadas.